Номер 1.90, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к обоим частям выражения:

$(7^{-2})^{-4} = 7^{(-2) \cdot (-4)} = 7^8$

$(7^{-3})^{-3} = 7^{(-3) \cdot (-3)} = 7^9$

Теперь выражение выглядит так: $7^8 : 7^9$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$7^8 : 7^9 = 7^{8-9} = 7^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем окончательный результат:

$7^{-1} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

В этом выражении мы сначала используем правило возведения в нулевую степень. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($a^0=1$ при $a \neq 0$):

$(2,5^8)^0 = 1$

Теперь выражение принимает вид:

$1 \cdot 2,5^{-1} = 2,5^{-1}$

Далее, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2,5^{-1} = \frac{1}{2,5}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, представим 2,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{2}$:

$\frac{1}{2,5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

Для вычисления этого выражения приведем все степени к одному основанию — 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(3^2)^{-4} \cdot (3^2)^{-15}}{(3^3)^{-12}}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^{2 \cdot (-4)} \cdot 3^{2 \cdot (-15)}}{3^{3 \cdot (-12)}} = \frac{3^{-8} \cdot 3^{-30}}{3^{-36}}$

В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{3^{-8+(-30)}}{3^{-36}} = \frac{3^{-38}}{3^{-36}}$

Наконец, применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{-38 - (-36)} = 3^{-38+36} = 3^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ находим конечный ответ:

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.