Номер 4.82, страница 236 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.82. Найдите количество целых решений неравенства $ \frac{x^2 + 6x}{6} - \frac{2x + 3}{2} \le 12 $.

Чтобы найти количество целых решений неравенства, необходимо сначала решить само неравенство.

Исходное неравенство:

$$ \frac{x^2 + 6x}{6} - \frac{2x + 3}{2} \le 12 $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 3:

$$ \frac{x^2 + 6x}{6} - \frac{3(2x + 3)}{6} \le 12 $$

Теперь можно объединить дроби под общим знаменателем:

$$ \frac{(x^2 + 6x) - (6x + 9)}{6} \le 12 $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{x^2 + 6x - 6x - 9}{6} \le 12 $$

$$ \frac{x^2 - 9}{6} \le 12 $$

Далее, умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$$ x^2 - 9 \le 72 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$$ x^2 - 9 - 72 \le 0 $$

$$ x^2 - 81 \le 0 $$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 81 = 0$. Это можно сделать, разложив левую часть по формуле разности квадратов:

$$ (x - 9)(x + 9) = 0 $$

Корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.

Графиком функции $y = x^2 - 81$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 81 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок: $x \in [-9; 9]$.

Теперь необходимо найти количество целых чисел, принадлежащих этому отрезку. Это все целые числа от -9 до 9 включительно.

Подсчитаем их количество: от -9 до -1 (9 чисел), 0 (1 число), от 1 до 9 (9 чисел). Всего $9 + 1 + 9 = 19$.

Либо можно использовать формулу для количества целых чисел на отрезке $[a, b]$: $N = b - a + 1$.

Количество целых решений = $9 - (-9) + 1 = 9 + 9 + 1 = 19$.

Количество целых решений неравенства: Ответ: 19.