Номер 4.16, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.16. Можно ли определить, является ли число -44 членом последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 24n - 69$? Определите, если это возможно.

Для того чтобы определить, является ли число -44 членом последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 24n - 69$, необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена последовательности), для которого будет выполняться равенство $a_n = -44$.

Приравняем формулу члена последовательности к заданному числу и решим полученное уравнение относительно $n$:

$n^2 - 24n - 69 = -44$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - 24n - 69 + 44 = 0$

$n^2 - 24n - 25 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 1$, $b = -24$, $c = -25$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Вычисляем корни:

$n_1 = \frac{-(-24) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$n_2 = \frac{-(-24) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Номер члена последовательности $n$ по определению должен быть натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Из двух найденных корней только $n_1 = 25$ удовлетворяет этому условию. Корень $n_2 = -1$ не является натуральным числом, поэтому он не может быть номером члена последовательности.

Следовательно, существует член последовательности, равный -44, и его номер равен 25.

Определите, если это возможно. Ответ: Да, определить возможно. Число -44 является 25-м членом данной последовательности.