Номер 4.19, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.19* Последовательность ($k_n$) задана формулой $n$-го члена $k_n = n^2 - 8n - 1$. Найдите число членов данной последовательности, меньших 19.

Для того чтобы найти число членов последовательности $(k_n)$, которые меньше 19, необходимо решить неравенство $k_n < 19$ относительно $n$.

Формула n-го члена последовательности задана как: $k_n = n^2 - 8n - 1$

Составим и решим неравенство, подставив в него выражение для $k_n$: $n^2 - 8n - 1 < 19$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство: $n^2 - 8n - 1 - 19 < 0$ $n^2 - 8n - 20 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 8n - 20 = 0$. Воспользуемся формулой для корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ $n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Графиком функции $y = n^2 - 8n - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $n^2$ положителен). Значения функции отрицательны на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства $n^2 - 8n - 20 < 0$ есть интервал $(-2; 10)$, то есть: $-2 < n < 10$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$ и $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение двух условий: $-2 < n < 10$ и $n \ge 1$. Это дает нам следующее двойное неравенство: $1 \le n < 10$

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Количество таких чисел равно 9. Следовательно, 9 членов данной последовательности меньше 19.

Ответ: 9