Номер 4.26, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.26. Найдите закономерность и продолжите последовательность чисел:

a) -3; -5; -7; -9; ...;

б) $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{3}$; 1; 3; ...

Запишите формулу n-го члена последовательности, первыми членами которой являются данные числа. Для каждой из последовательностей найдите ее седьмой член.

а) Рассматриваем последовательность чисел: $-3; -5; -7; -9; ...$

Чтобы найти закономерность, вычислим разность между соседними членами последовательности.
$a_2 - a_1 = -5 - (-3) = -2$
$a_3 - a_2 = -7 - (-5) = -2$

Разность постоянна и равна $-2$, следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -3$ и разностью $d = -2$.

Продолжим последовательность: $-3; -5; -7; -9; -11; -13; -15; ...$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения, чтобы получить формулу для данной последовательности:
$a_n = -3 + (n-1)(-2) = -3 - 2n + 2 = -2n - 1$.

Теперь найдем седьмой член последовательности, подставив $n=7$ в полученную формулу:
$a_7 = -2 \cdot 7 - 1 = -14 - 1 = -15$.

Ответ: -15

б) Рассматриваем последовательность чисел: $\frac{1}{9}; \frac{1}{3}; 1; 3; ...$

Чтобы найти закономерность, вычислим отношение соседних членов последовательности.
$b_2 / b_1 = (\frac{1}{3}) / (\frac{1}{9}) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
$b_3 / b_2 = 1 / (\frac{1}{3}) = 3$

Отношение постоянно и равно $3$, следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{1}{9}$ и знаменателем $q = 3$.

Продолжим последовательность: $\frac{1}{9}; \frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27; 81; ...$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения и упростим формулу для данной последовательности:
$b_n = \frac{1}{9} \cdot 3^{n-1} = 3^{-2} \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1-2} = 3^{n-3}$.

Теперь найдем седьмой член последовательности, подставив $n=7$ в полученную формулу:
$b_7 = 3^{7-3} = 3^4 = 81$.

Ответ: 81