Номер 4.31, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.31. Последовательность задана формулой $a_n = n^2 - 12n + 9$.

Найдите, под каким номером находится член последовательности, равный 22.

Для того чтобы найти, под каким номером $n$ находится член последовательности, равный 22, необходимо значение члена последовательности $a_n$ приравнять к 22 и решить полученное уравнение относительно $n$.

Исходная формула последовательности:

$a_n = n^2 - 12n + 9$

Приравниваем $a_n$ к 22:

$n^2 - 12n + 9 = 22$

Для решения этого уравнения преобразуем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем 22 в левую часть:

$n^2 - 12n + 9 - 22 = 0$

$n^2 - 12n - 13 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся методом нахождения корней через дискриминант.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -12$, $c = -13$.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-12) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$n_2 = \frac{-(-12) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 14}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Номер члена последовательности $n$ по определению должен быть натуральным числом (т.е. $n \ge 1$). Следовательно, корень $n_2 = -1$ не является решением задачи.

Единственный подходящий корень – $n_1 = 13$.

Таким образом, член последовательности, равный 22, находится под номером 13.

Ответ: 13