Номер 4.33, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.33*. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена на $a_n = n^2 - 6n - 3$. Найдите номера членов данной последовательности, не превосходящих 4.

Дана последовательность, заданная формулой n-го члена $a_n = n^2 - 6n - 3$.

Нам необходимо найти номера членов $n$, для которых выполняется условие "не превосходят 4", то есть $a_n \le 4$.

Составим и решим неравенство, подставив формулу для $a_n$:

$n^2 - 6n - 3 \le 4$

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$n^2 - 6n - 3 - 4 \le 0$

$n^2 - 6n - 7 \le 0$

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 6n - 7 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

$n_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$n_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Графиком функции $y = n^2 - 6n - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что значения функции не положительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства $n^2 - 6n - 7 \le 0$ является промежуток $[-1; 7]$, то есть $-1 \le n \le 7$.

По определению, номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$ (n = 1, 2, 3, ...).

Найдем пересечение множества решений неравенства $[-1; 7]$ и множества натуральных чисел. Целые числа, входящие в промежуток: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Из них натуральными являются:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Это и есть искомые номера членов последовательности.

4.33*. Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.