Номер 4.38, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.38. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше знаменателя. Если и числитель, и знаменатель этой дроби уменьшить на 3, то получится дробь, равная 0,75. Найдите первоначальную дробь.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть знаменатель первоначальной дроби равен $x$.

По условию, числитель обыкновенной дроби на 4 меньше знаменателя, значит, числитель равен $x - 4$.

Таким образом, первоначальная дробь имеет вид $\frac{x-4}{x}$.

Далее, по условию, если и числитель, и знаменатель этой дроби уменьшить на 3, то получится новая дробь. Найдем ее числитель и знаменатель:

• Новый числитель: $(x - 4) - 3 = x - 7$
• Новый знаменатель: $x - 3$

Новая дробь равна $\frac{x-7}{x-3}$.

Известно, что эта новая дробь равна 0,75. Преобразуем десятичную дробь 0,75 в обыкновенную:

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв полученную дробь к $\frac{3}{4}$:

$\frac{x-7}{x-3} = \frac{3}{4}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$4 \cdot (x-7) = 3 \cdot (x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x - 28 = 3x - 9$

Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$4x - 3x = 28 - 9$

$x = 19$

Мы нашли знаменатель первоначальной дроби, он равен 19.

Теперь найдем числитель первоначальной дроби:

$x - 4 = 19 - 4 = 15$

Следовательно, искомая первоначальная дробь — это $\frac{15}{19}$.

Проведем проверку:

1. Числитель 15 на 4 меньше знаменателя 19 ($19 - 15 = 4$). Условие выполняется.
2. Уменьшим числитель и знаменатель на 3: $\frac{15-3}{19-3} = \frac{12}{16}$. Сократим дробь: $\frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0,75$. Условие выполняется.

Найдите первоначальную дробь. Ответ: $\frac{15}{19}$