вопрос 2, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Последовательность $ (a_n) $ является арифметической прогрессией, если для всех членов последовательности, начиная со второго, выполняется условие:

а) $ a_n = a_{n-1} + a_{n+1}; $

б) $ a_n = a_{n-1} - a_{n+1}; $

в) $ a_n = a_{n-1} \cdot a_{n+1}; $

г) $ a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}. $

Выберите правильный ответ.

Чтобы определить, какое из предложенных условий задает арифметическую прогрессию, необходимо вспомнить ее определение и вывести характеристическое свойство.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $(a_n)$, в которой разность между любым членом последовательности, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Эта постоянная разность называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Исходя из определения, для любого $n \ge 2$ верно следующее:
$a_n - a_{n-1} = d$

Поскольку это верно для любого члена, то для следующего члена $a_{n+1}$ будет справедливо:
$a_{n+1} - a_n = d$

Так как левые части обоих равенств равны одной и той же величине $d$, мы можем приравнять их правые части:
$a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Это и есть характеристическое свойство арифметической прогрессии. Теперь преобразуем его, чтобы выразить член $a_n$ через его "соседей" — $a_{n-1}$ и $a_{n+1}$. Перенесем члены, содержащие $a_n$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую:
$a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Разделим обе части на 2:
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Это свойство означает, что каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен среднему арифметическому его предыдущего и последующего членов.

Сравнивая полученное выражение с вариантами, предложенными в задаче, мы видим, что оно в точности совпадает с вариантом г). Остальные варианты неверны:

• а) $a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$ и б) $a_n = a_{n-1} - a_{n+1}$ являются неверными алгебраическими соотношениями для арифметической прогрессии.
• в) $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$ — данное равенство неверно. Похожее свойство ($a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$) характеризует геометрическую прогрессию.

г) $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ Ответ: г