вопрос 1, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. В арифметической прогрессии $(a_n)$ $n$-й член вычисляется по формуле:

а) $a_n = a_1 + d;$

б) $a_n = a_1 + nd;$

в) $a_n = a_1 + (n-1)d;$

г) $a_n = a_1 + 2dn.$

Выберите правильный ответ.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа, называемого разностью прогрессии ($d$).

По определению, мы можем выразить члены прогрессии через первый член ($a_1$) и разность ($d$):

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$
• Третий член: $a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
• Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$

Продолжая эту логику, можно заметить, что для нахождения $n$-го члена прогрессии ($a_n$) необходимо к первому члену ($a_1$) прибавить разность ($d$), умноженную на количество "шагов" от первого члена до $n$-го, то есть на $(n-1)$.

Таким образом, общая формула для вычисления $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

а) $a_n = a_1 + d$
Эта формула верна только для нахождения второго члена прогрессии (при $n=2$). Для произвольного $n$ она не является общей. Ответ: Неверно.

б) $a_n = a_1 + nd$
Эта формула некорректна. Например, при подстановке $n=1$ мы получаем $a_1 = a_1 + 1 \cdot d$, что было бы верно только при $d=0$. Для $n=2$ формула дает $a_2 = a_1 + 2d$, что противоречит определению арифметической прогрессии, согласно которому $a_2 = a_1 + d$. Ответ: Неверно.

в) $a_n = a_1 + (n-1)d$
Эта формула полностью совпадает с выведенной нами стандартной формулой для $n$-го члена арифметической прогрессии. Она правильно описывает любой член последовательности. Ответ: Верно.

г) $a_n = a_1 + 2dn$
Эта формула некорректна. Проверка при $n=1$ дает $a_1 = a_1 + 2d$, что возможно только при $d=0$. При $n=2$ получаем $a_2 = a_1 + 4d$, что является неверным. Ответ: Неверно.

Следовательно, правильной является формула, представленная в варианте в).