Номер 4.35, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.35. Постройте график функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ и найдите:

a) $f(-3)$ и $f(18);

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 12;

в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

г) промежутки возрастания функции.

Для построения графика функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ сначала определим ее свойства и найдем координаты нескольких точек.

Функция $f(x) = -\frac{6}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график называется гиперболой. Так как коэффициент $k = -6$ отрицательный, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях. Область определения функции — все действительные числа, кроме нуля: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Оси координат $x=0$ и $y=0$ являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для построения графика:

График функции $f(x) = -\frac{6}{x}$:

Теперь найдем требуемые значения на основе формулы и графика.

а) f(-3) и f(18)
Чтобы найти значения функции, подставим соответствующие значения аргумента $x$ в ее формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.
При $x = -3$: $f(-3) = -\frac{6}{-3} = 2$.
При $x = 18$: $f(18) = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $f(-3) = \mathbf{2}$; $f(18) = -\frac{1}{3}$.

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 12
Необходимо найти такое значение $x$, при котором $f(x) = 12$. Для этого решим уравнение:
$-\frac{6}{x} = 12$
Умножим обе части уравнения на $x$ (с условием, что $x \neq 0$):
$-6 = 12x$
$x = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения
Необходимо найти такие значения $x$, при которых $f(x) < 0$. Для этого решим неравенство:
$-\frac{6}{x} < 0$
Дробь является отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $-6$ всегда отрицателен, то для выполнения неравенства знаменатель $x$ должен быть положителен.
$x > 0$
Это также видно на графике: ветвь гиперболы расположена ниже оси абсцисс ($y < 0$) именно при $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) промежутки возрастания функции
Функция является возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Проанализируем поведение функции на ее области определения.
1. На промежутке $(-\infty; 0)$: при увеличении $x$ (например, от -6 до -1) значение $f(x)$ увеличивается (от 1 до 6).
2. На промежутке $(0; +\infty)$: при увеличении $x$ (например, от 1 до 6) значение $f(x)$ также увеличивается (от -6 до -1).
Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения.
Ответ: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.