Номер 4.29, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.29. Последовательность ($d_n$) задана формулой $n$-го члена на $d_n = 2n^2 - 1$. Является ли членом этой последовательности число:

а) -1;

б) 31;

в) 99;

г) 199?

Чтобы определить, является ли число членом последовательности $(d_n)$, заданной формулой $d_n = 2n^2 - 1$, нужно подставить это число в формулу вместо $d_n$ и найти $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то данное число является членом последовательности.

Выразим $n$ из формулы n-го члена:

$d_n = 2n^2 - 1$

$2n^2 = d_n + 1$

$n^2 = \frac{d_n + 1}{2}$

$n = \sqrt{\frac{d_n + 1}{2}}$

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

а) -1;

Подставим $d_n = -1$ в выведенную формулу:

$n = \sqrt{\frac{-1 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{0}{2}} = \sqrt{0} = 0$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), а мы получили $n=0$, число -1 не является членом этой последовательности.

Ответ: Нет.

б) 31;

Подставим $d_n = 31$:

$n = \sqrt{\frac{31 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Мы получили натуральное число $n=4$. Это означает, что число 31 является 4-м членом данной последовательности.

Ответ: Да.

в) 99;

Подставим $d_n = 99$:

$n = \sqrt{\frac{99 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{2}} = \sqrt{50}$

Число 50 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{50}$ не является целым числом. Следовательно, не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности был бы равен 99.

Ответ: Нет.

г) 199;

Подставим $d_n = 199$:

$n = \sqrt{\frac{199 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10$

Мы получили натуральное число $n=10$. Это означает, что число 199 является 10-м членом данной последовательности.

Ответ: Да.