Номер 4.206, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.206*. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Определите, является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) $b_1; b_3; b_5; ...;$

б) $b_1 + 7; b_2 + 7; b_3 + 7; ...;$

в) $5b_1; 5b_2; 5b_3; ...;$

г) $b_1^2; b_2^2; b_3^2; ...$

Пусть ($b_n$) — исходная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q \neq 0$. Тогда формула n-го члена этой прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для того чтобы последовательность являлась геометрической прогрессией, отношение любого ее члена (начиная со второго) к предыдущему должно быть постоянным числом. Это число называется знаменателем прогрессии.

а) $b_1; b_3; b_5; ...;$ Рассмотрим новую последовательность ($c_n$), общий член которой $c_n = b_{2n-1}$. Выразим члены новой последовательности через $b_1$ и $q$:

• $c_1 = b_1$
• $c_2 = b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1q^2$
• $c_3 = b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1q^4$

Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{b_1q^2}{b_1} = q^2$
$\frac{c_3}{c_2} = \frac{b_1q^4}{b_1q^2} = q^2$
В общем виде, отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2(n+1)-1}}{b_{2n-1}} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}} = \frac{b_1q^{2n}}{b_1q^{2n-2}} = q^{2n-(2n-2)} = q^2$.
Отношение постоянно и равно $q^2$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.
Ответ: Да.

б) $b_1 + 7; b_2 + 7; b_3 + 7; ...;$ Рассмотрим новую последовательность ($c_n$), где $c_n = b_n + 7$. Проверим, постоянно ли отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$:
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{b_2 + 7}{b_1 + 7} = \frac{b_1q + 7}{b_1 + 7}$
$\frac{c_3}{c_2} = \frac{b_3 + 7}{b_2 + 7} = \frac{b_1q^2 + 7}{b_1q + 7}$
Чтобы последовательность была геометрической, должно выполняться равенство $\frac{c_2}{c_1} = \frac{c_3}{c_2}$. В общем случае это не так.
Приведем контрпример. Пусть $b_1 = 1$, $q=2$. Исходная прогрессия: 1, 2, 4, ... Новая последовательность: $1+7=8$, $2+7=9$, $4+7=11$, ...
Находим отношения: $\frac{9}{8}$ и $\frac{11}{9}$.
Так как $\frac{9}{8} \neq \frac{11}{9}$, последовательность не является геометрической прогрессией.
(Это будет верно только в частном случае, когда $q=1$. Тогда исходная последовательность $b_1, b_1, b_1, ...$, а новая $b_1+7, b_1+7, b_1+7, ...$ является геометрической прогрессией со знаменателем 1).
Поскольку в общем случае утверждение неверно, то ответ — нет.
Ответ: Нет.

в) $5b_1; 5b_2; 5b_3; ...;$ Рассмотрим новую последовательность ($c_n$), где $c_n = 5b_n$. Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{5b_{n+1}}{5b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.
Отношение постоянно и равно знаменателю исходной прогрессии $q$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $5b_1$ и знаменателем $q$.
Ответ: Да.

г) $b_1^2; b_2^2; b_3^2; ...;$ Рассмотрим новую последовательность ($c_n$), где $c_n = b_n^2$. Выразим члены новой последовательности через $b_1$ и $q$:

• $c_1 = b_1^2$
• $c_2 = b_2^2 = (b_1q)^2 = b_1^2q^2$
• $c_3 = b_3^2 = (b_1q^2)^2 = b_1^2q^4$

Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^2 = q^2$.
Или через формулу общего члена:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(b_1q^n)^2}{(b_1q^{n-1})^2} = \frac{b_1^2q^{2n}}{b_1^2q^{2n-2}} = q^{2n-(2n-2)} = q^2$.
Отношение постоянно и равно $q^2$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$.
Ответ: Да.