Номер 4.203, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.203*. В геометрической прогрессии $(b_n)$ известно, что $b_{43} \cdot b_{36} = 57$. Найдите значение выражения $b_{33} \cdot b_{46}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством геометрической прогрессии. Свойство заключается в том, что если суммы индексов двух пар членов прогрессии равны, то равны и произведения этих пар членов.

Формально: если $k + l = m + p$, то $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_p$.

Докажем это свойство. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии:

$$ b_k \cdot b_l = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{l-1}) = b_1^2 \cdot q^{k-1+l-1} = b_1^2 \cdot q^{k+l-2} $$

$$ b_m \cdot b_p = (b_1 \cdot q^{m-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{p-1}) = b_1^2 \cdot q^{m+p-2} $$

Поскольку по условию $k+l = m+p$, то и правые части выражений равны, а значит $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_p$.

Теперь применим это свойство к нашей задаче.

1. Нам дано произведение $b_{43} \cdot b_{36} = 57$. Найдем сумму индексов:

$$ 43 + 36 = 79 $$

2. Нам нужно найти значение выражения $b_{33} \cdot b_{46}$. Найдем сумму индексов для этого произведения:

$$ 33 + 46 = 79 $$

3. Суммы индексов в обоих произведениях одинаковы ($79 = 79$). Следовательно, сами произведения также равны:

$$ b_{33} \cdot b_{46} = b_{43} \cdot b_{36} $$

Подставляя известное значение, получаем:

$$ b_{33} \cdot b_{46} = 57 $$

Ответ: 57