Номер 4.209, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.209. Как определить знаменатель геометрической прогрессии, если заданы несколько ее первых членов? Найдите знаменатель и шестой член геометрической прогрессии:

а) -1; -5; -25; -125; ...;

б) 8; 4; 2; 1; ...;

в) -3; 3; -3; 3; ...;

г) $\sqrt{3}$; 3; $3\sqrt{3}$; 9; ... .

Чтобы определить знаменатель геометрической прогрессии ($q$), если заданы несколько ее первых членов ($b_1, b_2, b_3, \dots$), нужно любой член прогрессии, начиная со второго, разделить на предыдущий член.

Формула для нахождения знаменателя: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Например, можно взять второй и первый члены: $q = \frac{b_2}{b_1}$.

Формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Соответственно, шестой член прогрессии ($b_6$) находится по формуле: $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$.

а) $-1; -5; -25; -125; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{-1} = 5$.
Теперь найдем шестой член прогрессии $b_6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -1 \cdot 5^5 = -1 \cdot 3125 = -3125$.
Ответ: знаменатель $q = 5$, шестой член $b_6 = -3125$.

б) $8; 4; 2; 1; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = 8$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Найдем шестой член прогрессии $b_6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 8 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 8 \cdot \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
Ответ: знаменатель $q = \frac{1}{2}$, шестой член $b_6 = \frac{1}{4}$.

в) $-3; 3; -3; 3; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = -3$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-3} = -1$.
Найдем шестой член прогрессии $b_6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -3 \cdot (-1)^5 = -3 \cdot (-1) = 3$.
Ответ: знаменатель $q = -1$, шестой член $b_6 = 3$.

г) $\sqrt{3}; 3; 3\sqrt{3}; 9; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.
Найдем шестой член прогрессии $b_6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^5 = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^{1+5} = (\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: знаменатель $q = \sqrt{3}$, шестой член $b_6 = 27$.