Номер 4.204, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.204*. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_7 - b_5 = 48$; $b_6 + b_5 = 48$.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ и система уравнений:
1) $b_7 - b_5 = 48$
2) $b_6 + b_5 = 48$

Поскольку правые части обоих уравнений равны 48, мы можем приравнять их левые части:
$b_7 - b_5 = b_6 + b_5$

Перенесем члены последовательности так, чтобы сгруппировать их:
$b_7 - b_6 = b_5 + b_5$
$b_7 - b_6 = 2b_5$

Теперь воспользуемся определением геометрической прогрессии, согласно которому каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$. Выразим $b_6$ и $b_7$ через $b_5$:
$b_6 = b_5 \cdot q$
$b_7 = b_6 \cdot q = (b_5 \cdot q) \cdot q = b_5 \cdot q^2$

Подставим эти выражения в полученное ранее равенство:
$b_5 \cdot q^2 - b_5 \cdot q = 2b_5$

Вынесем общий множитель $b_5$ за скобки в левой части уравнения:
$b_5(q^2 - q) = 2b_5$

Заметим, что $b_5$ не может быть равно нулю. Если предположить, что $b_5 = 0$, то из второго исходного уравнения ($b_6 + b_5 = 48$) следует, что $b_6 = 48$. Однако, по формуле геометрической прогрессии, $b_6 = b_5 \cdot q = 0 \cdot q = 0$. Мы получаем противоречие $48 = 0$, следовательно, наше предположение неверно и $b_5 \neq 0$.

Поскольку $b_5 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $b_5(q^2 - q) = 2b_5$ на $b_5$:
$q^2 - q = 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$q^2 - q - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни:
$q_1 = 2$
$q_2 = -1$

Теперь необходимо выполнить проверку, чтобы исключить посторонние корни. Подставим найденные значения $q$ в одно из исходных уравнений, например, во второе: $b_6 + b_5 = 48$.
$b_5 \cdot q + b_5 = 48 \Rightarrow b_5(q+1) = 48$

1. Проверка для $q = -1$:
$b_5(-1 + 1) = 48$
$b_5 \cdot 0 = 48$
$0 = 48$
Получено неверное равенство, следовательно, $q = -1$ не является решением.

2. Проверка для $q = 2$:
$b_5(2 + 1) = 48$
$b_5 \cdot 3 = 48$
$b_5 = 16$
Это значение допустимо. Для полной уверенности можно подставить найденные $b_5=16$ и $q=2$ в первое исходное уравнение $b_7 - b_5 = 48$:
$b_7 = b_5 \cdot q^2 = 16 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64$.
$64 - 16 = 48$.
$48 = 48$.
Равенство верное.

Таким образом, единственным решением задачи является $q=2$.

Ответ: 2