Номер 4.198, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.198. Известно, что в геометрической прогрессии, все члены которой положительны, $b_4 = 5, b_6 = 1$. Найдите $b_5; q; b_1; b_8$.

По условию задачи мы имеем дело с геометрической прогрессией $\{b_n\}$, у которой все члены положительны ($b_n > 0$). Нам известны четвертый и шестой члены: $b_4 = 5$ и $b_6 = 1$.

Для нахождения неизвестных величин будем использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ и свойство среднего геометрического для положительных членов $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

$b_5$
Сначала найдем пятый член прогрессии, $b_5$. Члены $b_4$, $b_5$ и $b_6$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии, квадрат любого члена равен произведению его соседей: $b_5^2 = b_4 \cdot b_6$. Поскольку все члены положительны, мы можем извлечь квадратный корень:
$b_5 = \sqrt{b_4 \cdot b_6}$
Подставим известные значения:
$b_5 = \sqrt{5 \cdot 1} = \sqrt{5}$
Ответ: $\sqrt{5}$

$q$
Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Применим ее для известных нам членов $b_6$ и $b_4$:
$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$
Подставим значения и решим уравнение относительно $q$:
$1 = 5 \cdot q^2$
$q^2 = \frac{1}{5}$
По условию, все члены прогрессии положительны. Это означает, что и знаменатель $q$ должен быть положительным (иначе знаки членов чередовались бы). Следовательно:
$q = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$

$b_1$
Для нахождения первого члена прогрессии, $b_1$, воспользуемся формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Выразим $b_1$ через известный член $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
Отсюда:
$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$
Подставим известные значения $b_4=5$ и $q = \frac{1}{\sqrt{5}}$:
$b_1 = \frac{5}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^3} = \frac{5}{\frac{1^3}{(\sqrt{5})^3}} = \frac{5}{\frac{1}{5\sqrt{5}}} = 5 \cdot 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}$
Ответ: $25\sqrt{5}$

$b_8$
Наконец, найдем восьмой член прогрессии, $b_8$. Проще всего это сделать, отталкиваясь от наиболее близкого известного члена, $b_6$:
$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6} = b_6 \cdot q^2$
Подставим значения $b_6=1$ и $q^2=\frac{1}{5}$ (это значение мы уже находили ранее):
$b_8 = 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$