Номер 4.201, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.201* Докажите, что последовательность $3^n$; $3^{n+1}$; $3^{n+2}$; $3^{n+3}$, ..., где $n \in N$, является геометрической прогрессией. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Для доказательства того, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$.

Заданная последовательность: $b_1 = 3^n$, $b_2 = 3^{n+1}$, $b_3 = 3^{n+2}$, $b_4 = 3^{n+3}$, ...

Общий член этой последовательности можно записать как $b_k = 3^{n+k-1}$, где $k$ - номер члена последовательности ($k \in N$).

Доказательство, что последовательность является геометрической прогрессией:

Найдем отношение последующего члена $b_{k+1}$ к предыдущему $b_k$.

Член с номером $k+1$ имеет вид: $b_{k+1} = 3^{n+(k+1)-1} = 3^{n+k}$.

Найдем их отношение:

$q = \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{3^{n+k}}{3^{n+k-1}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^p} = a^{m-p}$, получаем:

$q = 3^{(n+k) - (n+k-1)} = 3^{n+k-n-k+1} = 3^1 = 3$.

Так как отношение любого члена последовательности к предыдущему является постоянным числом (не зависит от $n$ или $k$) и равно 3, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано.

Знаменатель этой прогрессии:

Из приведенного выше доказательства следует, что знаменатель прогрессии $q$ равен 3.

Ответ: 3.