Номер 4.205, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.205*. Пятый член геометрической прогрессии равен 2. Чему равно произведение первых девяти членов этой прогрессии?

Пусть данная геометрическая прогрессия обозначается как $\{b_n\}$, где $n$ - номер члена прогрессии. По условию, её пятый член равен 2: $b_5 = 2$.

Требуется найти произведение первых девяти членов этой прогрессии, которое мы обозначим как $P_9$: $P_9 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5 \cdot b_6 \cdot b_7 \cdot b_8 \cdot b_9$.

Для решения задачи воспользуемся свойством членов геометрической прогрессии: произведение членов, равноудаленных от центрального, равно квадрату центрального члена. В последовательности из 9 членов центральным является пятый член $b_5$.

Сгруппируем множители в произведении $P_9$ попарно относительно $b_5$: $P_9 = (b_1 \cdot b_9) \cdot (b_2 \cdot b_8) \cdot (b_3 \cdot b_7) \cdot (b_4 \cdot b_6) \cdot b_5$.

Согласно свойству, для любой пары $b_{5-k}$ и $b_{5+k}$ (где $k$ от 1 до 4) их произведение равно $b_5^2$. Выразим это через первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$: $b_{5-k} \cdot b_{5+k} = (b_1 q^{5-k-1}) \cdot (b_1 q^{5+k-1}) = (b_1 q^{4-k}) \cdot (b_1 q^{4+k}) = b_1^2 q^{8} = (b_1 q^4)^2$. Так как $b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4$, то $b_{5-k} \cdot b_{5+k} = b_5^2$.

Таким образом:

• $b_4 \cdot b_6 = b_5^2$
• $b_3 \cdot b_7 = b_5^2$
• $b_2 \cdot b_8 = b_5^2$
• $b_1 \cdot b_9 = b_5^2$

Подставим эти произведения обратно в выражение для $P_9$: $P_9 = (b_5^2) \cdot (b_5^2) \cdot (b_5^2) \cdot (b_5^2) \cdot b_5$.

Упростим выражение, сложив степени: $P_9 = b_5^{2+2+2+2+1} = b_5^9$.

Так как по условию $b_5 = 2$, мы можем вычислить окончательный результат: $P_9 = 2^9 = 512$.

Ответ: 512.