Номер 4.207, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.207*. В геометрической прогрессии с положительными членами $b_1 + b_2 = 20$, $b_3 + b_4 = 180$, $b_n = 405$. Найдите $n$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, все члены прогрессии положительны, следовательно $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используем данные из условия задачи для составления системы уравнений.

Из первого условия $b_1 + b_2 = 20$ следует:

$b_1 + b_1q = 20 \implies b_1(1+q) = 20$

Из второго условия $b_3 + b_4 = 180$ следует:

$b_1q^2 + b_1q^3 = 180 \implies b_1q^2(1+q) = 180$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} b_1(1+q) = 20 \\ b_1q^2(1+q) = 180 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое (так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, то $b_1 \neq 0$ и $1+q \neq 0$, и деление возможно):

$\frac{b_1q^2(1+q)}{b_1(1+q)} = \frac{180}{20}$

$q^2 = 9$

Поскольку по условию все члены прогрессии, а значит и знаменатель $q$, положительны, выбираем корень $q = 3$.

Теперь найдём $b_1$, подставив значение $q=3$ в первое уравнение:

$b_1(1+3) = 20$

$4b_1 = 20$

$b_1 = \frac{20}{4} = 5$

Таким образом, мы нашли первый член прогрессии $b_1 = 5$ и её знаменатель $q = 3$.

Осталось найти номер $n$ для члена прогрессии $b_n = 405$, используя формулу n-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставляем известные значения:

$405 = 5 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{405}{5} = 3^{n-1}$

$81 = 3^{n-1}$

Представим число 81 как степень числа 3:

$81 = 3^4$

Получаем уравнение:

$3^4 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$4 = n - 1$

$n = 4 + 1 = 5$

Найдите n. Ответ: 5