Номер 4.199, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.199. Найдите, при каком значении переменной значения выражений будут последовательными членами геометрической прогрессии:

а) $5$; $9-4x$ и $4x+1$;

б) $x+11$; $x-5$ и $2x-10$;

в) $4$; $x-5$ и $(x+3)^2$.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$ и $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов.

Формула: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Пусть $b_1 = 5$, $b_2 = 9 - 4x$ и $b_3 = 4x + 1$.

Согласно свойству геометрической прогрессии, составим уравнение:

$(9 - 4x)^2 = 5 \cdot (4x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$81 - 2 \cdot 9 \cdot 4x + (4x)^2 = 20x + 5$

$81 - 72x + 16x^2 = 20x + 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$16x^2 - 72x - 20x + 81 - 5 = 0$

$16x^2 - 92x + 76 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 4:

$4x^2 - 23x + 19 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 19 = 529 - 304 = 225$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 15}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}$

$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 15}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{19}{4}$ в смешанное число: $\frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}$.

Ответ: $1$ и $\mathbf{4}\frac{3}{4}$.

Пусть $b_1 = x + 11$, $b_2 = x - 5$ и $b_3 = 2x - 10$.

Составим уравнение на основе свойства геометрической прогрессии:

$(x - 5)^2 = (x + 11)(2x - 10)$

Вынесем общий множитель 2 в правой части:

$(x - 5)^2 = (x + 11) \cdot 2(x - 5)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)^2 - 2(x + 11)(x - 5) = 0$

$(x - 5) \cdot [ (x - 5) - 2(x + 11) ] = 0$

$(x - 5) \cdot (x - 5 - 2x - 22) = 0$

$(x - 5) \cdot (-x - 27) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2) $-x - 27 = 0 \implies -x = 27 \implies x = -27$

Ответ: $-27$ и $5$.

Пусть $b_1 = 4$, $b_2 = x - 5$ и $b_3 = (x + 3)^2$.

Составим уравнение, используя свойство геометрической прогрессии:

$(x - 5)^2 = 4 \cdot (x + 3)^2$

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно $A = B$ или $A = -B$. Возьмем квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{(x - 5)^2} = \sqrt{4(x + 3)^2}$

$|x - 5| = 2|x + 3|$

Раскроем модули, что приводит к двум случаям:

Случай 1: $x - 5 = 2(x + 3)$

$x - 5 = 2x + 6$

$x - 2x = 6 + 5$

$-x = 11 \implies x = -11$

Случай 2: $x - 5 = -2(x + 3)$

$x - 5 = -2x - 6$

$x + 2x = 5 - 6$

$3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-11$ и $-\frac{1}{3}$.