Номер 4.196, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.196. Между числами $40\frac{1}{2}$ и $5\frac{1}{3}$ вставьте четыре такие числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию. Чему равен знаменатель этой геометрической прогрессии?

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. Согласно условию, нам нужно вставить четыре числа между числами $40\frac{1}{2}$ и $5\frac{1}{3}$. Это означает, что $40\frac{1}{2}$ является первым членом прогрессии ($b_1$), а $5\frac{1}{3}$ — шестым членом ($b_6$), так как между ними находятся еще четыре члена ($b_2, b_3, b_4, b_5$).

Итак, имеем:

$b_1 = 40\frac{1}{2}$

$b_6 = 5\frac{1}{3}$

Общее число членов прогрессии $n=6$.

Для того чтобы найти четыре промежуточных члена, необходимо сначала определить знаменатель прогрессии $q$.

Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:

$b_1 = 40\frac{1}{2} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}$

$b_6 = 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=6$ формула примет вид: $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$.

Подставим известные значения $b_1$ и $b_6$ в формулу и решим уравнение относительно $q$:

$\frac{16}{3} = \frac{81}{2} \cdot q^5$

Выразим $q^5$:

$q^5 = \frac{16}{3} : \frac{81}{2} = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{81} = \frac{32}{243}$

Теперь найдем $q$, извлекая корень пятой степени:

$q = \sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \sqrt[5]{\frac{2^5}{3^5}} = \frac{2}{3}$

Зная знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{3}$, мы можем найти искомые четыре числа, последовательно умножая каждый предыдущий член на $q$.

$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{3} = 27$

$b_3 = b_2 \cdot q = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18$

$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

$b_5 = b_4 \cdot q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Проверим, что $b_6$ получается верным: $b_6 = b_5 \cdot q = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Значение совпадает с условием.

Таким образом, искомая геометрическая прогрессия: $40\frac{1}{2}, 27, 18, 12, 8, 5\frac{1}{3}$.

Четыре числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию: Ответ: 27, 18, 12, 8.

Знаменатель этой геометрической прогрессии: Ответ: $\frac{2}{3}$.