Номер 4.8, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.8. Сравните второй, пятый и двадцатый члены последовательности $(y_n)$, заданной формулой $n$-го члена:

а) $y_n = 5n - 1;$

б) $y_n = \frac{n}{100};$

в) $y_n = n^2 + 7;$

г) $y_n = (-1)^{n+1} \cdot n.$

Чтобы сравнить второй, пятый и двадцатый члены последовательности, необходимо вычислить их значения, подставив в формулу $n$-го члена соответствующие номера $n=2$, $n=5$ и $n=20$.

а) Для последовательности, заданной формулой $y_n = 5n - 1$:

• Второй член ($n=2$): $y_2 = 5 \cdot 2 - 1 = 10 - 1 = 9$
• Пятый член ($n=5$): $y_5 = 5 \cdot 5 - 1 = 25 - 1 = 24$
• Двадцатый член ($n=20$): $y_{20} = 5 \cdot 20 - 1 = 100 - 1 = 99$

Сравниваем полученные значения: $9 < 24 < 99$.
Следовательно, $y_2 < y_5 < y_{20}$.

Ответ: $y_2 < y_5 < y_{20}$.

б) Для последовательности, заданной формулой $y_n = \frac{n}{100}$:

• Второй член ($n=2$): $y_2 = \frac{2}{100} = 0,02$
• Пятый член ($n=5$): $y_5 = \frac{5}{100} = 0,05$
• Двадцатый член ($n=20$): $y_{20} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} = 0,2$

Сравниваем полученные значения: $0,02 < 0,05 < 0,2$.
Следовательно, $y_2 < y_5 < y_{20}$.

Ответ: $y_2 < y_5 < y_{20}$.

в) Для последовательности, заданной формулой $y_n = n^2 + 7$:

• Второй член ($n=2$): $y_2 = 2^2 + 7 = 4 + 7 = 11$
• Пятый член ($n=5$): $y_5 = 5^2 + 7 = 25 + 7 = 32$
• Двадцатый член ($n=20$): $y_{20} = 20^2 + 7 = 400 + 7 = 407$

Сравниваем полученные значения: $11 < 32 < 407$.
Следовательно, $y_2 < y_5 < y_{20}$.

Ответ: $y_2 < y_5 < y_{20}$.

г) Для последовательности, заданной формулой $y_n = (-1)^{n+1} \cdot n$:

• Второй член ($n=2$): $y_2 = (-1)^{2+1} \cdot 2 = (-1)^3 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
• Пятый член ($n=5$): $y_5 = (-1)^{5+1} \cdot 5 = (-1)^6 \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$
• Двадцатый член ($n=20$): $y_{20} = (-1)^{20+1} \cdot 20 = (-1)^{21} \cdot 20 = -1 \cdot 20 = -20$

Сравниваем полученные значения: $-20 < -2 < 5$.
Следовательно, $y_{20} < y_2 < y_5$.

Ответ: $y_{20} < y_2 < y_5$.