Номер 110, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

110* Одно из двух натуральных чисел при делении на 7 дает остаток 2, а другое — остаток 5. Найдите, какой остаток получится при делении на 7 удвоенного произведения этих чисел.

Обозначим два натуральных числа как $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, одно из натуральных чисел при делении на 7 дает остаток 2. Это можно записать в виде формулы, где $a$ — это число, 7 — делитель, $k$ — неполное частное (некоторое целое неотрицательное число), а 2 — остаток: $a = 7k + 2$

Аналогично, другое число при делении на 7 дает остаток 5. Запишем это в виде формулы, где $b$ — второе число, а $m$ — его неполное частное: $b = 7m + 5$

Нам необходимо найти остаток от деления на 7 удвоенного произведения этих чисел, то есть выражения $2 \cdot a \cdot b$. Для этого подставим в него полученные выше выражения для $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot (7k + 2) \cdot (7m + 5)$

Сначала раскроем скобки, чтобы найти произведение $(7k + 2) \cdot (7m + 5)$: $(7k + 2) \cdot (7m + 5) = 7k \cdot 7m + 7k \cdot 5 + 2 \cdot 7m + 2 \cdot 5 = 49km + 35k + 14m + 10$

Теперь умножим полученное выражение на 2: $2ab = 2 \cdot (49km + 35k + 14m + 10) = 98km + 70k + 28m + 20$

Чтобы найти остаток от деления всего этого выражения на 7, проанализируем каждое слагаемое. Видно, что первые три слагаемых делятся на 7 без остатка:

• $98km = 7 \cdot (14km)$
• $70k = 7 \cdot (10k)$
• $28m = 7 \cdot (4m)$

Таким образом, мы можем вынести общий множитель 7 за скобки для этих слагаемых: $2ab = 7 \cdot (14km + 10k + 4m) + 20$

Из полученного выражения следует, что остаток от деления $2ab$ на 7 равен остатку от деления числа 20 на 7, так как первая часть $7 \cdot (14km + 10k + 4m)$ делится на 7 нацело.

Найдите, какой остаток получится при делении на 7 удвоенного произведения этих чисел:
Выполним деление 20 на 7 с остатком: $20 \div 7 = 2$ (остаток $6$), поскольку $20 = 7 \cdot 2 + 6$. Следовательно, искомый остаток равен 6.
Ответ: 6