Номер 107, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

107*. Упростите выражение $\frac{x^2+x\sqrt{2}}{x^2+2} \cdot \left(\frac{x}{x-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right)$

Для упрощения данного выражения сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей $ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) $. Используя формулу разности квадратов, получаем: $ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^2 - (\sqrt{2})^2 = x^2 - 2 $.

Выполним вычитание дробей в скобках: $$ \frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} = \frac{x(x + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(x - \sqrt{2})}{x^2 - 2} = \frac{x^2 + x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2}{x^2 - 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2} $$

Теперь умножим первую дробь из исходного выражения на полученный результат: $$ \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 + 2} \cdot \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2} $$

Сократим общий множитель $ (x^2 + 2) $ в числителе и знаменателе: $$ \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 - 2} $$

Для дальнейшего упрощения разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем $x$ за скобки, а знаменатель разложим как разность квадратов: $$ \frac{x(x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})} $$

Сократим общий множитель $ (x + \sqrt{2}) $: $$ \frac{x}{x - \sqrt{2}} $$

Для того чтобы выделить целую часть из полученной неправильной дроби, представим числитель $x$ в виде $ (x - \sqrt{2}) + \sqrt{2} $: $$ \frac{x}{x - \sqrt{2}} = \frac{(x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}}{x - \sqrt{2}} = \frac{x - \sqrt{2}}{x - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{2}} $$ Ответ: $ 1 + \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{2}} $.