Номер 114, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

114*. Найдите значение выражения $(x-b+1)^2 + 2(b-x-1)(x+b+1) + (x+b+1)^2$ при $b=0,4$ и $x=-4,019$.

Для нахождения значения данного выражения, сперва упростим его, чтобы избежать громоздких вычислений с десятичными дробями.

Исходное выражение: $(x - b + 1)^2 + 2(b - x - 1)(x + b + 1) + (x + b + 1)^2$.

Это выражение напоминает формулу квадрата суммы или разности. Давайте внимательно посмотрим на его структуру. Сделаем замену переменных для наглядности:

Пусть $A = (x - b + 1)$ и $C = (x + b + 1)$.

Теперь рассмотрим средний член выражения: $2(b - x - 1)(x + b + 1)$. Преобразуем первую скобку, вынеся за нее знак минус:

$b - x - 1 = -( -b + x + 1) = -(x - b + 1)$.

Как мы видим, $(b - x - 1) = -A$.

Подставим наши обозначения A и C в исходное выражение:

$A^2 + 2(-A)C + C^2 = A^2 - 2AC + C^2$.

Это известная формула сокращенного умножения — квадрат разности:

$A^2 - 2AC + C^2 = (A - C)^2$.

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив их в полученное упрощенное выражение:

$(A - C)^2 = ((x - b + 1) - (x + b + 1))^2$.

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x - b + 1 - x - b - 1)^2 = ((x - x) + (-b - b) + (1 - 1))^2 = (-2b)^2$.

Возведем в квадрат:

$(-2b)^2 = 4b^2$.

Таким образом, всё исходное выражение равно $4b^2$. Заметим, что значение переменной $x$ не влияет на результат.

Теперь подставим в полученное выражение значение $b = 0,4$:

$4 \cdot (0,4)^2 = 4 \cdot 0,16 = 0,64$.

Ответ: 0,64