Номер 121, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

121*. Упростите выражение

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

Для упрощения данного выражения необходимо преобразовать каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого рассмотрим общий член суммы вида $ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} $.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $. Это позволит нам использовать формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{1} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $

Теперь мы можем применить это преобразование к каждому слагаемому в исходной сумме:

• Первый член: $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-\sqrt{1} = \sqrt{2}-1 $
• Второй член: $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2} $
• ...
• Последний член: $ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $

Подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$ (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) $

Данная сумма является телескопической. Если мы раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, то увидим, что все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$ -1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \dots - \sqrt{n} + \sqrt{n+1} $

В результате сокращения остаются только первое и последнее слагаемые: $ -1 $ и $ \sqrt{n+1} $.

Ответ: $ \sqrt{n+1}-1 $