Номер 126, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

126. Выберите верные равенства: $\sqrt{3+b} = \sqrt{3}+\sqrt{b};$

$\sqrt{\frac{3}{b}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{b}};$ $\sqrt{3b} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{b};$ $\sqrt{3-b} = \sqrt{3}-\sqrt{b}.$

Для того чтобы выбрать верные равенства, необходимо проанализировать каждое из них, опираясь на свойства арифметического квадратного корня.

$\sqrt{3+b} = \sqrt{3} + \sqrt{b}$
Данное равенство утверждает, что корень из суммы равен сумме корней. В общем случае это неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Возьмем $b=1$.
Вычислим левую часть: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Вычислим правую часть: $\sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1 \approx 1,732 + 1 = 2,732$.
Так как $2 \neq \sqrt{3} + 1$, равенство не является тождеством.
Ответ: неверно.

$\sqrt{\frac{3}{b}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{b}}$
Это равенство основано на свойстве корня из частного, которое гласит: $\sqrt{\frac{a}{c}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}$ для любых $a \ge 0$ и $c > 0$.
В данном случае $a=3$ и $c=b$. Таким образом, равенство справедливо для всех значений $b > 0$, при которых выражения имеют смысл.
Ответ: верно.

$\sqrt{3b} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{b}$
Это равенство основано на свойстве корня из произведения, которое гласит: $\sqrt{a \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{c}$ для любых неотрицательных $a$ и $c$.
В данном случае $a=3$ и $c=b$. Таким образом, равенство справедливо для всех значений $b \ge 0$, при которых выражения имеют смысл.
Ответ: верно.

$\sqrt{3-b} = \sqrt{3} - \sqrt{b}$
Данное равенство утверждает, что корень из разности равен разности корней. В общем случае это неверно. Приведем контрпример. Возьмем $b=2$ (значение входит в область допустимых значений $0 \le b \le 3$).
Вычислим левую часть: $\sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$.
Вычислим правую часть: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1,732 - 1,414 = 0,318$.
Так как $1 \neq \sqrt{3} - \sqrt{2}$, равенство не является тождеством.
Ответ: неверно.