Номер 120, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

0,28.

120*. Сократите дробь $\frac{x + 6\sqrt{x-1} + 4}{\sqrt{x-1} + 1}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{x+6\sqrt{x-1}+4}{\sqrt{x-1}+1}$, наиболее удобным методом является введение новой переменной.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение, находящееся под знаком корня, должно быть неотрицательным: $$ x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 $$ Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Проверим это условие: $$ \sqrt{x-1}+1 \neq 0 $$ Так как по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $\sqrt{x-1}+1 \ge 1$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль при допустимых значениях $x$.

2. Введем замену переменной.
Пусть $y = \sqrt{x-1}$. Тогда $y^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$, откуда мы можем выразить $x$: $$ x = y^2+1 $$

3. Подставим новую переменную в исходную дробь.
Заменим все вхождения $x$ и $\sqrt{x-1}$ в дроби на выражения с $y$: $$ \frac{x+6\sqrt{x-1}+4}{\sqrt{x-1}+1} = \frac{(y^2+1) + 6y + 4}{y+1} $$

4. Упростим полученное выражение.
Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{y^2+6y+5}{y+1} $$

5. Разложим числитель на множители.
Числитель $y^2+6y+5$ представляет собой квадратный трехчлен. Его можно разложить на множители, найдя корни уравнения $y^2+6y+5=0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корнями являются $y_1 = -1$ и $y_2 = -5$. Тогда разложение имеет вид: $$ y^2+6y+5 = (y - (-1))(y - (-5)) = (y+1)(y+5) $$

6. Сократим дробь.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $$ \frac{(y+1)(y+5)}{y+1} $$ Так как $y+1 \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот множитель: $$ \frac{\cancel{(y+1)}(y+5)}{\cancel{y+1}} = y+5 $$

7. Выполним обратную замену.
Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $\sqrt{x-1}$ вместо $y$: $$ y+5 = \sqrt{x-1}+5 $$