Номер 109, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

109*. Докажите, что значение выражения $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при $n \in N$.

Чтобы доказать, что значение выражения $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном $n$ (то есть при $n \in N$), необходимо преобразовать данное выражение и показать, что его можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 14.

Запишем исходное выражение: $$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$$

Воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и вынесем общий множитель $2^n$ за скобки: $$2^n + 2^n \cdot 2^1 + 2^n \cdot 2^2 = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$$

Теперь вычислим значение выражения в скобках: $$1 + 2 + 4 = 7$$

Таким образом, исходное выражение равно: $$2^n \cdot 7$$

Нам нужно доказать кратность 14. Число 14 можно разложить на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.

В полученном выражении $7 \cdot 2^n$ уже есть множитель 7. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что множитель $2^n$ всегда содержит как минимум один множитель 2. Представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$.

Тогда все выражение можно переписать в виде: $$7 \cdot 2^n = 7 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (7 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 14 \cdot 2^{n-1}$$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1 \ge 0$, и, следовательно, $2^{n-1}$ является целым числом. Так как исходное выражение можно представить в виде произведения числа 14 на целое число ($k = 2^{n-1}$), то оно кратно 14 для любого натурального $n$.

Что и требовалось доказать.