Номер 112, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

112*: Найдите наименьшее значение выражения $8x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x + 2y + 3$ и значения переменных, при которых оно достигается.

Для нахождения наименьшего значения выражения преобразуем его, выделив полные квадраты. Исходное выражение:

$$ 8x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x + 2y + 3 $$

Сгруппируем члены, содержащие переменную $y$, чтобы выделить полный квадрат относительно $y$.

$$ (2y^2 - 4xy + 2y) + 8x^2 + 4x + 3 = 2(y^2 - 2xy + y) + 8x^2 + 4x + 3 $$

Внутри скобок имеем выражение $y^2 - 2xy + y$, которое можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $y$: $y^2 - (2x-1)y$. Дополним его до полного квадрата, прибавив и вычтя квадрат половины коэффициента при $y$, то есть $\left(\frac{2x-1}{2}\right)^2$:

$$ 2\left(y^2 - (2x-1)y + \left(\frac{2x-1}{2}\right)^2 - \left(\frac{2x-1}{2}\right)^2\right) + 8x^2 + 4x + 3 $$

Теперь свернем полный квадрат и раскроем скобки:

$$ 2\left(\left(y - \frac{2x-1}{2}\right)^2\right) - 2\left(\frac{2x-1}{2}\right)^2 + 8x^2 + 4x + 3 $$

$$ = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - 2\frac{(2x-1)^2}{4} + 8x^2 + 4x + 3 $$

$$ = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{4x^2-4x+1}{2} + 8x^2 + 4x + 3 $$

$$ = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - (2x^2-2x+\frac{1}{2}) + 8x^2 + 4x + 3 $$

Приведем подобные члены, чтобы упростить выражение:

$$ = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + (8x^2 - 2x^2) + (4x + 2x) + \left(3 - \frac{1}{2}\right) $$

$$ = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + 6x^2 + 6x + \frac{5}{2} $$

Теперь выделим полный квадрат для выражения, содержащего $x$: $6x^2 + 6x + \frac{5}{2}$.

$$ 6(x^2 + x) + \frac{5}{2} = 6\left(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \frac{5}{2} $$

$$ = 6\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 6 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = 6\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} $$

$$ = 6\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{2}{2} = 6\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 1 $$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде суммы двух квадратов и константы:

$$ 8x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x + 2y + 3 = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 1 $$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть:

$$ \left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \quad \text{и} \quad \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 $$

Следовательно, сумма $2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ будет минимальной, когда оба слагаемых равны нулю. Минимальное значение этой суммы равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения равно 1.

Найдем значения переменных $x$ и $y$, при которых достигается наименьшее значение. Для этого необходимо, чтобы оба выражения в скобках были равны нулю. Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + \frac{1}{2} = 0 \\ y - x + \frac{1}{2} = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы находим $x$:

$$ x = -\frac{1}{2} $$

Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение:

$$ y - \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = 0 $$

$$ y + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 $$

$$ y + 1 = 0 $$

$$ y = -1 $$

Наименьшее значение выражения: Ответ: 1.

Значения переменных: Ответ: $x = -\frac{1}{2}$, $y = -1$.