Номер 106, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

106*. Внесите множитель под знак корня:

а) $ \frac{1}{3x}\sqrt{-27x}; $ б) $ (m-n)\sqrt{\frac{n-m}{7}}. $

а) Для того чтобы внести множитель $\frac{1}{3x}$ под знак корня в выражении $\frac{1}{3x}\sqrt{-27x}$, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $-27x \ge 0$. Решая неравенство, получаем $x \le 0$.
2. Знаменатель множителя не должен быть равен нулю: $3x \ne 0$, откуда $x \ne 0$.

Совмещая оба условия, приходим к выводу, что ОДЗ для данного выражения: $x < 0$.

Далее, определим знак множителя $\frac{1}{3x}$. Поскольку $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то и весь множитель $\frac{1}{3x}$ будет отрицательным.

Правило внесения отрицательного множителя $a$ под знак квадратного корня гласит: если $a < 0$, то $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$.

Применим это правило:

$\frac{1}{3x}\sqrt{-27x} = -\sqrt{(\frac{1}{3x})^2 \cdot (-27x)}$

Теперь выполним преобразования выражения под корнем:

$-\sqrt{\frac{1}{9x^2} \cdot (-27x)} = -\sqrt{\frac{-27x}{9x^2}}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $9x$ (что допустимо, так как $x \ne 0$):

$-\sqrt{-\frac{3}{x}}$

Заметим, что подкоренное выражение $-\frac{3}{x}$ положительно, так как $x < 0$, что подтверждает корректность наших действий.

Ответ: $-\sqrt{-\frac{3}{x}}$

б) Рассмотрим выражение $(m-n)\sqrt{\frac{n-m}{7}}$. Сначала найдем его область допустимых значений.

Подкоренное выражение $\frac{n-m}{7}$ должно быть неотрицательным: $\frac{n-m}{7} \ge 0$, что эквивалентно $n-m \ge 0$, или $n \ge m$.

Теперь определим знак множителя $(m-n)$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $n \ge m$, то разность $m-n$ будет неположительной, то есть $m-n \le 0$.

Для внесения неположительного множителя $a$ ($a \le 0$) под знак квадратного корня используется формула $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$(m-n)\sqrt{\frac{n-m}{7}} = -\sqrt{(m-n)^2 \cdot \frac{n-m}{7}}$

Упростим выражение, находящееся под знаком корня. Учтем, что $(m-n)^2$ можно записать как $(-(n-m))^2$, что равно $(n-m)^2$.

$-\sqrt{(n-m)^2 \cdot \frac{n-m}{7}} = -\sqrt{\frac{(n-m)^2 \cdot (n-m)}{7}} = -\sqrt{\frac{(n-m)^3}{7}}$

Выражение имеет смысл, так как $n-m \ge 0$, а значит и $(n-m)^3 \ge 0$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{(n-m)^3}{7}}$