Номер 100, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

100*. Представьте произведение $10^{-n} \cdot 0,0125^{-n} \cdot 128^{n+1}$ в виде степени с основанием 2.

Чтобы представить данное произведение в виде степени с основанием 2, необходимо каждый множитель выразить через степени простых чисел. В нашем случае это будут степени чисел 2 и 5.

Исходное выражение:

1. Преобразуем каждый множитель по отдельности:

• Представим число 10 в виде произведения простых множителей:
  $10 = 2 \cdot 5$
  Тогда: $$10^{-n} = (2 \cdot 5)^{-n} = 2^{-n} \cdot 5^{-n}$$
• Представим десятичную дробь 0,0125 в виде обыкновенной дроби и разложим на простые множители:
  $0,0125 = \frac{125}{10000} = \frac{1}{80}$
  Теперь разложим знаменатель 80: $80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$
  Следовательно, $0,0125 = \frac{1}{2^4 \cdot 5} = (2^4 \cdot 5)^{-1} = 2^{-4} \cdot 5^{-1}$.
  Возведем это выражение в степень $-n$: $$0,0125^{-n} = (2^{-4} \cdot 5^{-1})^{-n} = 2^{(-4) \cdot (-n)} \cdot 5^{(-1) \cdot (-n)} = 2^{4n} \cdot 5^n$$
• Представим число 128 в виде степени с основанием 2:
  $128 = 2^7$
  Тогда: $$128^{n+1} = (2^7)^{n+1} = 2^{7 \cdot (n+1)} = 2^{7n+7}$$

2. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное произведение:

3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством умножения степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

Сложим показатели степеней для основания 2:

Сложим показатели степеней для основания 5:

Таким образом, выражение принимает вид:

4. Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($5^0 = 1$), получаем окончательный результат:

Ответ: $2^{10n+7}$