Номер 93, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

93. Докажите, что при всех действительных значениях переменных значение выражения не зависит от значений переменных:

а) $(\frac{1}{p} - \frac{1}{p + p^2}) \cdot (\frac{1}{p} - p) - \frac{1}{p}$;

б) $(\frac{2a + 6}{a^2 - 1} - \frac{2}{a^2 + a}) : \frac{2a + 2}{a^2 - a}$.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его и показать, что в результате получается константа (число).

а) Упростим выражение $(\frac{1}{p} - \frac{1}{p+p^2}) \cdot (\frac{1}{p} - p) - \frac{1}{p}$ по действиям.

1. Выполним вычитание в первой скобке. Для этого разложим знаменатель $p+p^2$ на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{1}{p} - \frac{1}{p+p^2} = \frac{1}{p} - \frac{1}{p(1+p)} = \frac{1 \cdot (1+p)}{p(1+p)} - \frac{1}{p(1+p)} = \frac{1+p-1}{p(1+p)} = \frac{p}{p(1+p)} = \frac{1}{1+p}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя его к общему знаменателю $p$.

$\frac{1}{p} - p = \frac{1}{p} - \frac{p \cdot p}{p} = \frac{1-p^2}{p}$

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:

$\frac{(1-p)(1+p)}{p}$

3. Теперь перемножим результаты первых двух действий.

$(\frac{1}{1+p}) \cdot (\frac{(1-p)(1+p)}{p}) = \frac{(1-p)(1+p)}{p(1+p)}$

Сокращаем дробь на $(1+p)$:

$\frac{1-p}{p}$

4. Выполним последнее действие — вычитание.

$\frac{1-p}{p} - \frac{1}{p} = \frac{1-p-1}{p} = \frac{-p}{p} = -1$

В результате упрощения мы получили число -1. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значений переменной $p$ (для области допустимых значений $p \neq 0, p \neq -1$).

а) Ответ: -1

б) Упростим выражение $(\frac{2a+6}{a^2-1} - \frac{2}{a^2+a}) : \frac{2a+2}{a^2-a}$ по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого разложим знаменатели и числители на множители.

$\frac{2a+6}{a^2-1} - \frac{2}{a^2+a} = \frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{a(a+1)}$

Общий знаменатель равен $a(a-1)(a+1)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2(a+3) \cdot a}{a(a-1)(a+1)} - \frac{2 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a(a+3) - 2(a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{2a^2+6a - 2a+2}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4a+2}{a(a-1)(a+1)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 и применим формулу квадрата суммы $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:

$2(a^2+2a+1) = 2(a+1)^2$

Получаем дробь:

$\frac{2(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на $(a+1)$:

$\frac{2(a+1)}{a(a-1)}$

2. Упростим делитель $\frac{2a+2}{a^2-a}$. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{2(a+1)}{a(a-1)}$

3. Выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь.

$(\frac{2(a+1)}{a(a-1)}) : (\frac{2(a+1)}{a(a-1)}) = \frac{2(a+1)}{a(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{2(a+1)} = 1$

В результате упрощения мы получили число 1. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значений переменной $a$ (для области допустимых значений $a \notin \{0, 1, -1\}$).

б) Ответ: 1