Номер 87, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

87. Сократите дробь:

а) $ \frac{1-x^2}{5-5x} $;

б) $ \frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2-9b^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{1-x^2}{5-5x}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Числитель $1-x^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1-x)(1+x)$
В знаменателе $5-5x$ вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5 - 5x = 5(1-x)$
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{1-x^2}{5-5x} = \frac{(1-x)(1+x)}{5(1-x)}$
Сокращаем одинаковый множитель $(1-x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \ne 1$):
$\frac{\cancel{(1-x)}(1+x)}{5\cancel{(1-x)}} = \frac{1+x}{5}$
Ответ: $\frac{1+x}{5}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2-9b^2}$, также разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^2-6ab+9b^2$ является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2-6ab+9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a-3b)^2$
Знаменатель $a^2-9b^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a-3b)(a+3b)$
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2-9b^2} = \frac{(a-3b)^2}{(a-3b)(a+3b)} = \frac{(a-3b)(a-3b)}{(a-3b)(a+3b)}$
Сокращаем общий множитель $(a-3b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne 3b$):
$\frac{\cancel{(a-3b)}(a-3b)}{\cancel{(a-3b)}(a+3b)} = \frac{a-3b}{a+3b}$
Ответ: $\frac{a-3b}{a+3b}$