Номер 91, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

91. Выполните действия: $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} + \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1}$

Чтобы выполнить действия в выражении $\frac{x^2-5x+4}{x-1} + \frac{x^2+4x+3}{x+1}$, мы упростим каждую дробь по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

Шаг 1: Упрощение первой дроби

Рассмотрим первую дробь: $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1}$.

Разложим числитель $x^2 - 5x + 4$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, разложение числителя на множители имеет вид: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(x - 1)$, при условии, что $x - 1 \neq 0$ (то есть $x \neq 1$):

$\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 1} = x - 4$

Шаг 2: Упрощение второй дроби

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1}$.

Разложим числитель $x^2 + 4x + 3$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -4, а их произведение равно 3. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, разложение числителя имеет вид: $x^2 + 4x + 3 = (x - (-1))(x - (-3)) = (x + 1)(x + 3)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(x + 1)$, при условии, что $x + 1 \neq 0$ (то есть $x \neq -1$):

$\frac{(x + 1)(x + 3)}{x + 1} = x + 3$

Шаг 3: Сложение упрощенных выражений

Теперь, когда обе дроби упрощены, мы можем их сложить:

$(x - 4) + (x + 3) = x - 4 + x + 3 = 2x - 1$

Таким образом, исходное выражение равно $2x - 1$ с учетом области допустимых значений ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: $2x-1$.