Номер 86, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

86. Верно ли, что дробь $\frac{(x-3y)^2}{x^2-9y^2}$ можно сократить на $3y-x$? Какая дробь получится?

Верно ли, что дробь $\frac{(x-3y)^2}{x^2-9y^2}$ можно сократить на $3y-x$?
Чтобы сократить дробь на некоторое выражение, необходимо, чтобы и числитель, и знаменатель этой дроби делились на данное выражение. Проверим это условие для дроби $\frac{(x-3y)^2}{x^2-9y^2}$ и выражения $3y-x$.

1. Анализ числителя: $(x-3y)^2$.
Заметим, что $x-3y = -1 \cdot (3y-x)$. Используя это свойство, преобразуем числитель:
$(x-3y)^2 = (-(3y-x))^2 = (-1)^2 \cdot (3y-x)^2 = (3y-x)^2$.
Так как числитель можно представить в виде $(3y-x) \cdot (3y-x)$, он делится на $3y-x$.

2. Анализ знаменателя: $x^2-9y^2$.
Знаменатель является разностью квадратов. Применим формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-9y^2 = x^2-(3y)^2 = (x-3y)(x+3y)$.
Теперь заменим множитель $(x-3y)$ на $-(3y-x)$:
$(x-3y)(x+3y) = -(3y-x)(x+3y)$.
Знаменатель также содержит множитель $(3y-x)$, следовательно, он делится на него.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на $3y-x$, всю дробь можно сократить на это выражение.
Ответ: Да, верно.

Какая дробь получится?
Для нахождения итоговой дроби выполним сокращение. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общий множитель:
$\frac{(x-3y)^2}{x^2-9y^2} = \frac{(x-3y)(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)}$
При условии, что $x-3y \neq 0$, сокращаем общий множитель $(x-3y)$:
$\frac{\cancel{(x-3y)}(x-3y)}{\cancel{(x-3y)}(x+3y)} = \frac{x-3y}{x+3y}$
Данная алгебраическая дробь является неправильной, так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны. Согласно требованию, выделим из неё целую часть. Для этого представим числитель в виде $(x+3y) - 6y$:
$\frac{x-3y}{x+3y} = \frac{(x+3y) - 6y}{x+3y} = \frac{x+3y}{x+3y} - \frac{6y}{x+3y} = 1 - \frac{6y}{x+3y}$
Ответ: $1 - \frac{6y}{x+3y}$.