Номер 85, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

85. Найдите сумму и разность дробей $ \frac{3}{a^2 - b^2} $ и $ \frac{3}{(a-b)^2} $.

Чтобы найти сумму и разность данных дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.

Данные дроби: $ \frac{3}{a^2-b^2} $ и $ \frac{3}{(a-b)^2} $.

Знаменатель первой дроби — это формула разности квадратов:

$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $

Знаменатель второй дроби:

$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в знаменателях. Таким образом, НОЗ равен $ (a-b)^2(a+b) $.

Для нахождения суммы приведем обе дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{3}{(a-b)(a+b)} $ — это $ (a-b) $. Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{3}{(a-b)^2} $ — это $ (a+b) $.

$ \frac{3}{a^2-b^2} + \frac{3}{(a-b)^2} = \frac{3(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} + \frac{3(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} $

Складываем числители, оставляя знаменатель без изменений:

$ \frac{3(a-b) + 3(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} $

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$ \frac{3a - 3b + 3a + 3b}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{6a}{(a-b)^2(a+b)} $

Ответ: $ \frac{6a}{(a-b)^2(a+b)} $

Для нахождения разности также приведем дроби к общему знаменателю $ (a-b)^2(a+b) $.

$ \frac{3}{a^2-b^2} - \frac{3}{(a-b)^2} = \frac{3(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} - \frac{3(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} $

Вычитаем числители:

$ \frac{3(a-b) - 3(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} $

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые. Важно обратить внимание на знак перед второй скобкой:

$ \frac{3a - 3b - (3a + 3b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{3a - 3b - 3a - 3b}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{-6b}{(a-b)^2(a+b)} $

Ответ: $ -\frac{6b}{(a-b)^2(a+b)} $