Номер 82, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

82. Докажите, что при любом значении $m$ значение выражения $(3 - m)(3 + m) - 10$ отрицательно.

Чтобы доказать, что при любом значении $m$ значение выражения $(3-m)(3+m) - 10$ отрицательно, необходимо его упростить.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения — разностью квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$(3-m)(3+m) - 10 = 3^2 - m^2 - 10 = 9 - m^2 - 10 = -1 - m^2$

Теперь нужно доказать, что полученное выражение $-1 - m^2$ всегда отрицательно.

Квадрат любого действительного числа $m$ всегда является неотрицательным числом, то есть:

$m^2 \ge 0$

Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный:

$-m^2 \le 0$

Это означает, что выражение $-m^2$ всегда меньше или равно нулю.

Теперь вычтем $1$ из обеих частей последнего неравенства:

$-m^2 - 1 \le 0 - 1$

$-m^2 - 1 \le -1$

Поскольку $-1$ является отрицательным числом, то и выражение $-m^2 - 1$, которое всегда меньше или равно $-1$, также всегда будет отрицательным.

Таким образом, доказано, что значение исходного выражения $(3-m)(3+m) - 10$ отрицательно при любом значении $m$.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $(3-m)(3+m) - 10$ тождественно равно $-1 - m^2$. Так как $m^2 \ge 0$ для любого $m$, то $-m^2 \le 0$, и, следовательно, $-1 - m^2 \le -1$. Это означает, что значение выражения всегда отрицательно.