Номер 84, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

84. Выполните действия:

а) $ \frac{a}{5} - \frac{b}{5} - \frac{a+b}{5} $;

б) $ 14m^2 \cdot \frac{2n^3}{7m^6} $;

в) $ \frac{12x^5y^2}{z^3} : (6x^4y^6) $;

г) $ \left(-\frac{3x^2y^4}{m^3}\right)^4 $.

а) $\frac{a}{5} - \frac{b}{5} - \frac{a+b}{5}$

Поскольку все дроби имеют одинаковый знаменатель 5, мы можем выполнить вычитание их числителей, записав их под общим знаменателем:

$\frac{a - b - (a+b)}{5}$

Раскроем скобки в числителе. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$\frac{a - b - a - b}{5}$

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a - a) + (-b - b) = 0 - 2b = -2b$

Таким образом, окончательное выражение выглядит так:

$\frac{-2b}{5}$

Ответ: $-\frac{2b}{5}$

б) $14m^2 \cdot \frac{2n^3}{7m^6}$

Для умножения представим $14m^2$ как дробь $\frac{14m^2}{1}$ и перемножим числители и знаменатели:

$\frac{14m^2}{1} \cdot \frac{2n^3}{7m^6} = \frac{14m^2 \cdot 2n^3}{7m^6} = \frac{28m^2n^3}{7m^6}$

Сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{28}{7} = 4$

Затем сократим степени переменной $m$ по правилу $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\frac{m^2}{m^6} = m^{2-6} = m^{-4} = \frac{1}{m^4}$

Собираем все части вместе:

$4 \cdot n^3 \cdot \frac{1}{m^4} = \frac{4n^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{4n^3}{m^4}$

в) $\frac{12x^5y^2}{z^3} : (6x^4y^6)$

Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение. Обратным к $6x^4y^6$ является $\frac{1}{6x^4y^6}$.

$\frac{12x^5y^2}{z^3} \cdot \frac{1}{6x^4y^6} = \frac{12x^5y^2}{6x^4y^6z^3}$

Теперь сократим полученную дробь. Сократим коэффициенты:

$\frac{12}{6} = 2$

Сократим степени переменных $x$ и $y$:

$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x$

$\frac{y^2}{y^6} = y^{2-6} = y^{-4} = \frac{1}{y^4}$

Переменная $z^3$ остается в знаменателе. Объединяем все части:

$\frac{2x}{y^4z^3}$

Ответ: $\frac{2x}{y^4z^3}$

г) $(-\frac{3x^2y^4}{m^3})^4$

Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель. Поскольку дробь возводится в четную степень (4), знак минус исчезает.

$(-\frac{3x^2y^4}{m^3})^4 = \frac{(3x^2y^4)^4}{(m^3)^4}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$ и свойство возведения произведения в степень $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

Числитель: $(3x^2y^4)^4 = 3^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^4)^4 = 81 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{4 \cdot 4} = 81x^8y^{16}$

Знаменатель: $(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$

Объединяем полученные числитель и знаменатель:

$\frac{81x^8y^{16}}{m^{12}}$

Ответ: $\frac{81x^8y^{16}}{m^{12}}$