Номер 92, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

92. Установите порядок действий и упростите выражение:

а) $(\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}) \cdot \frac{x-y}{2y};$

б) $\frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1};$

в) $(\frac{x+4}{3x+3} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{3}{x+1} - \frac{2}{1-x^2};$

г) $(\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}) \cdot \frac{1-5a}{a^2+5a} + \frac{a^2+5}{a+1}.$

а) Упростим выражение $\left(\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}\right) \cdot \frac{x-y}{2y}$.

1. Первым действием выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2-y^2}$

2. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 = 4xy$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4xy}{x^2-y^2}$.

3. Вторым действием выполним умножение:

$\frac{4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x-y}{2y} = \frac{4xy}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x-y}{2y}$

4. Сократим общие множители $x-y$ и $2y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2x \cdot 2y}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x-y}{2y} = \frac{2x}{x+y}$.

Ответ: $\frac{2x}{x+y}$

б) Упростим выражение $\frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1}$.

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1} = \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{4x^2-1}{3x-1}$

2. Разложим числитель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$4x^2-1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1)$.

3. Подставим и сократим:

$\frac{5}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{3x-1} = \frac{5(2x+1)}{3x-1}$.

4. Теперь выполним вычитание:

$\frac{7}{3x-1} - \frac{5(2x+1)}{3x-1}$

Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{7 - 5(2x+1)}{3x-1} = \frac{7 - 10x - 5}{3x-1} = \frac{2 - 10x}{3x-1}$.

Ответ: $\frac{2-10x}{3x-1}$

в) Упростим выражение $\left(\frac{x+4}{3x+3} - \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{3}{x+1} - \frac{2}{1-x^2}$.

1. Выполним действие в скобках. Сначала вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $3x+3 = 3(x+1)$.

$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1}{x+1}$

Приведем к общему знаменателю $3(x+1)$:

$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1 \cdot 3}{3(x+1)} = \frac{x+4-3}{3(x+1)} = \frac{x+1}{3(x+1)} = \frac{1}{3}$.

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x+1} = \frac{1}{x+1}$.

3. Выполним вычитание:

$\frac{1}{x+1} - \frac{2}{1-x^2}$

Используем формулу разности квадратов для знаменателя второй дроби: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.

$\frac{1}{x+1} - \frac{2}{(1-x)(1+x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x)$:

$\frac{1 \cdot (1-x)}{(1+x)(1-x)} - \frac{2}{(1-x)(1+x)} = \frac{1-x-2}{(1-x)(1+x)} = \frac{-x-1}{(1-x)(1+x)}$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $\frac{-(x+1)}{(1-x)(1+x)}$. Сократим на $(x+1)$:

$\frac{-1}{1-x} = \frac{1}{-(1-x)} = \frac{1}{x-1}$.

Ответ: $\frac{1}{x-1}$

г) Упростим выражение $\left(\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}\right) \cdot \frac{1-5a}{a^2+5a} + \frac{a^2+5}{a+1}$.

1. Выполним действие в скобках. Вынесем общий множитель $(a+5)$:

$(a+5)\left(\frac{1}{5a-1} + \frac{1}{a+1}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(5a-1)(a+1)$:

$(a+5)\left(\frac{a+1+5a-1}{(5a-1)(a+1)}\right) = (a+5)\frac{6a}{(5a-1)(a+1)} = \frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)}$.

2. Выполним умножение. Разложим на множители $1-5a = -(5a-1)$ и $a^2+5a = a(a+5)$.

$\frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)} \cdot \frac{-(5a-1)}{a(a+5)}$

Сократим общие множители $a$, $(a+5)$ и $(5a-1)$:

$\frac{6}{a+1} \cdot (-1) = \frac{-6}{a+1}$.

3. Выполним сложение:

$\frac{-6}{a+1} + \frac{a^2+5}{a+1}$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-6+a^2+5}{a+1} = \frac{a^2-1}{a+1}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-1 = (a-1)(a+1)$ и сократим дробь:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a-1$.

Ответ: $a-1$