Номер 98, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

98. Вынесите множитель за знак корня в выражении $\sqrt{72n^8m^6}$ при $m < 0$.

Для того чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{72n^8m^6}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, которые являются полными квадратами, и затем извлечь из них корень.

1. Разложение числового коэффициента.

Представим число 72 в виде произведения, где один из множителей является наибольшим возможным квадратом. Таким множителем является 36.

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

2. Разложение переменных.

Используя свойство степеней $(a^x)^y = a^{xy}$, представим степени переменных в виде квадратов выражений:

$n^8 = (n^4)^2$

$m^6 = (m^3)^2$

3. Преобразование выражения под корнем.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\sqrt{72n^8m^6} = \sqrt{6^2 \cdot 2 \cdot (n^4)^2 \cdot (m^3)^2}$

4. Извлечение корня.

Вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль $x$):

$\sqrt{6^2 \cdot (n^4)^2 \cdot (m^3)^2 \cdot 2} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{(n^4)^2} \cdot \sqrt{(m^3)^2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot |n^4| \cdot |m^3| \cdot \sqrt{2}$

5. Раскрытие модулей с учётом условия $m < 0$.

• Выражение $n^4$ всегда неотрицательно ($n^4 \ge 0$), так как любое число в чётной степени не может быть отрицательным. Следовательно, $|n^4| = n^4$.
• По условию $m < 0$. Это значит, что $m$ — отрицательное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень (в данном случае в 3-ю) результат также будет отрицательным, то есть $m^3 < 0$. Согласно определению модуля, $|a| = -a$ при $a < 0$. Следовательно, $|m^3| = -m^3$.

6. Формирование окончательного ответа.

Объединим все полученные части:

$6 \cdot n^4 \cdot (-m^3) \cdot \sqrt{2} = -6n^4m^3\sqrt{2}$

Ответ: $-6n^4m^3\sqrt{2}$