Номер 96, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

$\frac{6-a^2}{a^2-2a\sqrt{6}+6}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Исходное выражение:

$$ \frac{6 - a^2}{a^2 - 2a\sqrt{6} + 6} $$

1. Разложим на множители числитель: $6 - a^2$.

Числитель представляет собой разность квадратов. Представим число $6$ как $(\sqrt{6})^2$. Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$$ 6 - a^2 = (\sqrt{6})^2 - a^2 = (\sqrt{6} - a)(\sqrt{6} + a) $$

2. Разложим на множители знаменатель: $a^2 - 2a\sqrt{6} + 6$.

Знаменатель является полным квадратом разности. Используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=\sqrt{6}$, получаем:

$$ a^2 - 2a\sqrt{6} + 6 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = (a - \sqrt{6})^2 $$

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение.

$$ \frac{(\sqrt{6} - a)(\sqrt{6} + a)}{(a - \sqrt{6})^2} $$

Заметим, что $(a - \sqrt{6})^2 = (-( \sqrt{6} - a))^2 = (\sqrt{6} - a)^2$. Перепишем знаменатель в этом виде для удобства сокращения:

$$ \frac{(\sqrt{6} - a)(\sqrt{6} + a)}{(\sqrt{6} - a)^2} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt{6} - a)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq \sqrt{6}$, чтобы знаменатель не был равен нулю).

$$ \frac{\cancel{(\sqrt{6} - a)}(\sqrt{6} + a)}{(\sqrt{6} - a)^{\cancel{2}}} = \frac{\sqrt{6} + a}{\sqrt{6} - a} $$

Ответ: $$ \frac{a + \sqrt{6}}{\sqrt{6} - a} $$