Номер 136, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

136. Выполните действия:

а) $\frac{m}{7} + \frac{n}{7} - \frac{m-n}{7};$

б) $18a^3 \cdot \frac{5b^2}{9a^6};$

В) $\frac{14m^6n^3}{k^4} : (7m^2n^5);$

Г) $\left(-\frac{2x^3y^2}{a^4}\right)^6.$

а) $\frac{m}{7} + \frac{n}{7} - \frac{m-n}{7}$

Поскольку все дроби имеют общий знаменатель 7, мы можем выполнить действия с их числителями, записав их над общим знаменателем:

$\frac{m + n - (m - n)}{7}$

Далее, раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$\frac{m + n - m + n}{7}$

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$(m - m) + (n + n) = 0 + 2n = 2n$

В результате получаем:

$\frac{2n}{7}$

Ответ: $\frac{2n}{7}$

б) $18a^3 \cdot \frac{5b^2}{9a^6}$

Для выполнения умножения представим множитель $18a^3$ в виде дроби $\frac{18a^3}{1}$ и перемножим числители и знаменатели:

$\frac{18a^3}{1} \cdot \frac{5b^2}{9a^6} = \frac{18a^3 \cdot 5b^2}{9a^6}$

Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты 18 и 9:

$\frac{18}{9} = 2$

Сократим степени переменной $a$ по свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^3}{a^6} = a^{3-6} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$

Соберем все вместе:

$\frac{2 \cdot 5b^2}{a^3} = \frac{10b^2}{a^3}$

Ответ: $\frac{10b^2}{a^3}$

в) $\frac{14m^6n^3}{k^4} : (7m^2n^5)$

Деление на выражение равносильно умножению на обратное к нему. Представим делитель в виде дроби $\frac{7m^2n^5}{1}$ и заменим деление умножением на перевернутую дробь:

$\frac{14m^6n^3}{k^4} \cdot \frac{1}{7m^2n^5}$

Перемножим дроби:

$\frac{14m^6n^3}{k^4 \cdot 7m^2n^5} = \frac{14m^6n^3}{7k^4m^2n^5}$

Сократим коэффициенты и степени переменных:

$\frac{14}{7} = 2$

$\frac{m^6}{m^2} = m^{6-2} = m^4$

$\frac{n^3}{n^5} = n^{3-5} = n^{-2} = \frac{1}{n^2}$

Объединим полученные результаты:

$\frac{2m^4}{k^4n^2}$

Ответ: $\frac{2m^4}{k^4n^2}$

г) $(-\frac{2x^3y^2}{a^4})^6$

Необходимо возвести дробь в степень. Так как степень 6 является четным числом, отрицательный знак у основания исчезает, потому что $(-1)^6 = 1$.

$(-\frac{2x^3y^2}{a^4})^6 = (\frac{2x^3y^2}{a^4})^6$

Теперь возведем в степень числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$:

$\frac{(2x^3y^2)^6}{(a^4)^6}$

Для возведения произведения в степень используем свойство $(abc)^n = a^nb^nc^n$, а для возведения степени в степень — $(x^m)^n = x^{mn}$:

Числитель: $(2x^3y^2)^6 = 2^6 \cdot (x^3)^6 \cdot (y^2)^6 = 64x^{18}y^{12}$

Знаменатель: $(a^4)^6 = a^{4 \cdot 6} = a^{24}$

Таким образом, итоговое выражение:

$\frac{64x^{18}y^{12}}{a^{24}}$

Ответ: $\frac{64x^{18}y^{12}}{a^{24}}$