Номер 143, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

143. Докажите, что при любом значении y значение выражения $(y+2)(y-2)+5$ положительно.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $(y+2)(y-2)+5$ положительно при любом значении переменной $y$, необходимо упростить это выражение и проанализировать результат.

Первым шагом упростим произведение скобок $(y+2)(y-2)$, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

В данном случае $a=y$ и $b=2$, поэтому:

$(y+2)(y-2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(y^2 - 4) + 5 = y^2 - 4 + 5 = y^2 + 1$

Таким образом, мы показали, что исходное выражение тождественно равно $y^2 + 1$.

Далее, проанализируем полученное выражение $y^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа $y$ всегда является неотрицательным числом, то есть он либо больше, либо равен нулю. Математически это записывается как:

$y^2 \ge 0$

Наименьшее значение, которое может принять $y^2$, равно 0 (это достигается только при $y=0$).

Теперь рассмотрим все выражение $y^2 + 1$. Если мы к наименьшему возможному значению $y^2$ (которое равно 0) прибавим 1, мы получим наименьшее значение всего выражения:

$0 + 1 = 1$

Это означает, что для любого значения $y$ выражение $y^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1:

$y^2 + 1 \ge 1$

Поскольку 1 — это положительное число ($1 > 0$), то и выражение $y^2 + 1$ всегда будет положительным.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение $(y+2)(y-2)+5$ всегда положительно при любом значении $y$, что и требовалось доказать.