Номер 137, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

137. Найдите сумму и разность дробей $\frac{1}{xy-y^2}$ и $\frac{1}{xy+y^2}$.

Для того чтобы найти сумму и разность дробей $\frac{1}{xy-y^2}$ и $\frac{1}{xy+y^2}$, их необходимо привести к общему знаменателю.

1. Нахождение общего знаменателя.

Сначала разложим знаменатели каждой дроби на множители, вынеся общий множитель за скобки:

• $xy - y^2 = y(x-y)$
• $xy + y^2 = y(x+y)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители из обоих разложений. Таким образом, НОЗ равен $y(x-y)(x+y)$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, мы можем упростить его до $y(x^2-y^2)$.

2. Нахождение суммы.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение. Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{y(x-y)}$ — это $(x+y)$, а для второй дроби $\frac{1}{y(x+y)}$ — это $(x-y)$.

$\frac{1}{xy-y^2} + \frac{1}{xy+y^2} = \frac{1 \cdot (x+y)}{y(x-y)(x+y)} + \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y) + (x-y)}{y(x^2-y^2)}$

Теперь упростим числитель:

$\frac{x+y+x-y}{y(x^2-y^2)} = \frac{2x}{y(x^2-y^2)}$

3. Нахождение разности.

Аналогично, выполним вычитание, используя тот же общий знаменатель и дополнительные множители:

$\frac{1}{xy-y^2} - \frac{1}{xy+y^2} = \frac{1 \cdot (x+y)}{y(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y) - (x-y)}{y(x^2-y^2)}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$\frac{x+y-x+y}{y(x^2-y^2)} = \frac{2y}{y(x^2-y^2)}$

Сократим полученную дробь на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, что следует из области определения исходных дробей):

$\frac{2\cancel{y}}{\cancel{y}(x^2-y^2)} = \frac{2}{x^2-y^2}$

Сумма: Ответ: $\frac{2x}{y(x^2-y^2)}$

Разность: Ответ: $\frac{2}{x^2-y^2}$