Номер 138, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

138. Представьте в виде дроби выражение:

а) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{-6};$

б) $\left(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\right)^{-2} : \frac{1}{10a^3b^4};$

В) $\frac{28a^2}{27x^3} \cdot \left(-\frac{63x^4}{150a}\right) : \frac{49a^2}{25x^3};$

Г) $\frac{(-1,5x^2y)^3 (2xy^3)^4}{(6x^3y^2)^2}.$

а) $ (2a^{-2}b^3)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{-6} $
Возведем каждый множитель в соответствующую степень.
$ (2a^{-2}b^3)^2 = 2^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot (b^3)^2 = 4a^{-4}b^6 $
$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-6} = \frac{a^{-6}}{b^{-6}} = a^{-6}b^6 $
Теперь перемножим полученные выражения:
$ 4a^{-4}b^6 \cdot a^{-6}b^6 = 4a^{-4-6}b^{6+6} = 4a^{-10}b^{12} $
Представим результат в виде дроби с положительными показателями степеней:
$ 4a^{-10}b^{12} = \frac{4b^{12}}{a^{10}} $
Ответ: $ \frac{4b^{12}}{a^{10}} $

б) $ \left(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\right)^{-2} : \frac{1}{10a^{3}b^{4}} $
Сначала упростим первое выражение, возведя дробь в степень:
$ \left(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\right)^{-2} = \frac{(5a^{-2})^{-2}}{(6b^{-1})^{-2}} = \frac{5^{-2}(a^{-2})^{-2}}{6^{-2}(b^{-1})^{-2}} = \frac{5^{-2}a^{4}}{6^{-2}b^{2}} = \frac{6^2 a^4}{5^2 b^2} = \frac{36a^4}{25b^2} $
Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:
$ \frac{36a^4}{25b^2} : \frac{1}{10a^{3}b^{4}} = \frac{36a^4}{25b^2} \cdot \frac{10a^{3}b^{4}}{1} $
Перемножим дроби, сокращая и группируя коэффициенты и переменные:
$ \frac{36 \cdot 10}{25} \cdot \frac{a^4 \cdot a^3 \cdot b^4}{b^2} = \frac{360}{25} \cdot a^{4+3}b^{4-2} = \frac{72}{5}a^7b^2 $
Коэффициент $ \frac{72}{5} $ является неправильной дробью. Выделим из него целую часть: $ \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} $.
Ответ: $ 14\frac{2}{5}a^7b^2 $

в) $ \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \left(-\frac{63x^4}{150a}\right) : \frac{49a^2}{25x^3} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \left(-\frac{63x^4}{150a}\right) \cdot \frac{25x^3}{49a^2} = - \frac{28a^2 \cdot 63x^4 \cdot 25x^3}{27x^3 \cdot 150a \cdot 49a^2} $
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{28 \cdot 63 \cdot 25}{27 \cdot 150 \cdot 49} = \frac{(4 \cdot 7) \cdot (9 \cdot 7) \cdot 25}{(3 \cdot 9) \cdot (6 \cdot 25) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{4}{3 \cdot 6} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $
Сгруппируем и сократим переменные:
$ \frac{a^2 \cdot x^4 \cdot x^3}{x^3 \cdot a \cdot a^2} = \frac{a^2x^7}{a^3x^3} = a^{2-3}x^{7-3} = a^{-1}x^4 = \frac{x^4}{a} $
Объединим результаты:
$ - \frac{2}{9} \cdot \frac{x^4}{a} = -\frac{2x^4}{9a} $
Ответ: $ -\frac{2x^4}{9a} $

г) $ \frac{(-1,5x^2y)^3(2xy^3)^4}{(6x^3y^2)^2} $
Возведем в степень выражения в числителе и знаменателе. Учтем, что $ -1,5 = -\frac{3}{2} $.
Числитель: $ (-1,5x^2y)^3(2xy^3)^4 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3(x^2)^3y^3 \cdot 2^4x^4(y^3)^4 = \left(-\frac{27}{8}\right)x^6y^3 \cdot 16x^4y^{12} $
$ = -\frac{27 \cdot 16}{8} \cdot x^{6+4}y^{3+12} = -27 \cdot 2 \cdot x^{10}y^{15} = -54x^{10}y^{15} $
Знаменатель: $ (6x^3y^2)^2 = 6^2(x^3)^2(y^2)^2 = 36x^6y^4 $
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{-54x^{10}y^{15}}{36x^6y^4} = -\frac{54}{36} \cdot x^{10-6}y^{15-4} = -\frac{3}{2}x^4y^{11} $
Коэффициент $ -\frac{3}{2} $ является неправильной дробью. Выделим из него целую часть: $ -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -1\frac{1}{2}x^4y^{11} $