Номер 147, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

147. Выполните действия $\frac{x^2+5x+4}{x+1} - \frac{x^2-4x+3}{x-1}$.

Для выполнения действий в выражении $\frac{x^2+5x+4}{x+1} - \frac{x^2-4x+3}{x-1}$, мы сначала упростим каждую из дробей. Для этого необходимо разложить числители на множители.

Шаг 1. Упрощение первой дроби.

Рассмотрим числитель первой дроби: $x^2+5x+4$. Чтобы разложить его на множители, найдем корни квадратного уравнения $x^2+5x+4=0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1=-1$ и $x_2=-4$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2+5x+4 = (x-(-1))(x-(-4)) = (x+1)(x+4)$.
Теперь мы можем сократить первую дробь:

$\frac{x^2+5x+4}{x+1} = \frac{(x+1)(x+4)}{x+1} = x+4$

Это преобразование справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x+1 \neq 0$ или $x \neq -1$.

Шаг 2. Упрощение второй дроби.

Рассмотрим числитель второй дроби: $x^2-4x+3$. Найдем корни уравнения $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.
Теперь сократим вторую дробь:

$\frac{x^2-4x+3}{x-1} = \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = x-3$

Это преобразование справедливо при $x-1 \neq 0$ или $x \neq 1$.

Шаг 3. Выполнение вычитания.

Теперь, когда обе дроби упрощены, подставим их в исходное выражение:

$(x+4) - (x-3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x+4 - x+3 = (x-x) + (4+3) = 0 + 7 = 7$

Ответ: 7