Номер 151, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

151. Сократите дробь $\frac{m^2 - 2m\sqrt{3} + 3}{3 - m^2}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{m^2 - 2m\sqrt{3} + 3}{3 - m^2}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.

1. Разложим числитель: $m^2 - 2m\sqrt{3} + 3$.
Это выражение является полным квадратом разности, который соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = m$ и $b = \sqrt{3}$. Проверим: $a^2 = m^2$, $b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$, и $2ab = 2 \cdot m \cdot \sqrt{3} = 2m\sqrt{3}$.
Следовательно, числитель можно представить в виде: $$m^2 - 2m\sqrt{3} + 3 = (m - \sqrt{3})^2$$

2. Разложим знаменатель: $3 - m^2$.
Это выражение является разностью квадратов, которая соответствует формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае $a = \sqrt{3}$ и $b = m$.
Следовательно, знаменатель можно представить в виде: $$3 - m^2 = (\sqrt{3})^2 - m^2 = (\sqrt{3} - m)(\sqrt{3} + m)$$

3. Подставим разложения в дробь и сократим.
Теперь исходная дробь имеет вид: $$ \frac{(m - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{3} - m)(\sqrt{3} + m)} $$ Заметим, что множитель в знаменателе $(\sqrt{3} - m)$ можно записать как $-(m - \sqrt{3})$.
$$ \frac{(m - \sqrt{3})^2}{-(m - \sqrt{3})(\sqrt{3} + m)} $$ Сокращаем общий множитель $(m - \sqrt{3})$ (при условии, что $m \neq \sqrt{3}$): $$ \frac{m - \sqrt{3}}{-(\sqrt{3} + m)} = -\frac{m - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + m} $$ Чтобы избавиться от знака "минус" перед дробью, внесем его в числитель: $$ \frac{-(m - \sqrt{3})}{\sqrt{3} + m} = \frac{\sqrt{3} - m}{\sqrt{3} + m} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - m}{\sqrt{3} + m}$