Номер 155, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

155*. Представьте произведение $0,0004^{-n} \cdot 125^{n+3} \cdot 100^{-n}$ в виде степени с основанием 5.

Чтобы представить заданное произведение в виде степени с основанием 5, необходимо каждый множитель выразить через степень числа 5 (или произведение степеней, где одно из оснований равно 5), а затем применить свойства степеней для упрощения выражения.

Исходное выражение: $0,0004^{-n} \cdot 125^{n+3} \cdot 100^{-n}$

Преобразуем каждый множитель по отдельности:

• Первый множитель $0,0004$. Представим его в виде обыкновенной дроби и разложим на простые множители:
  $0,0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500} = \frac{1}{25 \cdot 100} = \frac{1}{5^2 \cdot (5 \cdot 2)^2} = \frac{1}{5^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2} = \frac{1}{5^4 \cdot 2^2} = 5^{-4} \cdot 2^{-2}$.
  Возводя в степень $-n$, получаем: $0,0004^{-n} = (5^{-4} \cdot 2^{-2})^{-n} = 5^{(-4) \cdot (-n)} \cdot 2^{(-2) \cdot (-n)} = 5^{4n} \cdot 2^{2n}$.
• Второй множитель $125$. Это степень числа 5:
  $125 = 5^3$.
  Возводя в степень $n+3$, получаем: $125^{n+3} = (5^3)^{n+3} = 5^{3(n+3)} = 5^{3n+9}$.
• Третий множитель $100$. Разложим на простые множители:
  $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
  Возводя в степень $-n$, получаем: $100^{-n} = (2^2 \cdot 5^2)^{-n} = 2^{-2n} \cdot 5^{-2n}$.

Теперь подставим преобразованные множители в исходное произведение:

$(5^{4n} \cdot 2^{2n}) \cdot (5^{3n+9}) \cdot (2^{-2n} \cdot 5^{-2n})$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$(2^{2n} \cdot 2^{-2n}) \cdot (5^{4n} \cdot 5^{3n+9} \cdot 5^{-2n})$

Упростим каждую группу:

$2^{2n-2n} \cdot 5^{4n+3n+9-2n} = 2^0 \cdot 5^{5n+9}$

Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($2^0=1$), получаем:

$1 \cdot 5^{5n+9} = 5^{5n+9}$

155*: Ответ: $5^{5n+9}$